בסעיף זה נוכיח , שהדטרמיננטה של מכפלת מטריצות ( ריבועיות מסדר n ) שווה למכפלת הדטרמיננטות של הגורמים . ההוכחה פשוטה , ואינה נזקקת לפיתוח המייגע של הדטרמיננטות הרלוונטיות . התחליף הוא משפט העזר הבא : למה אם ϕ היא פעולת-שורה אלמנטרית על מטריצות ריבועיות מסדר , n ואם A ו- B הן מטריצות ריבועיות מסדר , n אז (ϕ AB ) = (ϕ A ) B כלומר : במקום לבצע את הפעולה ϕ על מטריצת המכפלה , AB אפשר לבצע אותה פעולה על , A ולכפול את התוצאה ב- . B ננמק : נציג את A לפי שורותיה ( כל a הוא וקטור שורה n -ממדי . ) ההצגה של AB לפי שורותיה היא : 1 ראו במשפט . 9 . 5 שימו לב שלכל , i המכפלה a B היא אכן וקטור שורה n ממדי , כי . a ↑ i ↑ B a ↑ B 1 × n n × n 1 × n
אל הספר