אם , A = A m × n אז לכל וקטור עמודה , v ∈ R n המכפלה A v היא וקטור עמודה מתוך . R m ההתאמה v V A v היא אפוא העתקה מ- R ל- . R תכונת הפילוג של כפל מטריצות , המוכרת ממשפט , 9 . 6 מבטיחה שלכל , a , b ∈ R A ( a + b ) = a + AA b A v A v m × n n × 1 m × 1 1 ההעתקה v V A v מתיישבת אפוא עם החיבור . ההעתקה מתיישבת גם עם הכפל בסקלר , כי לפי אותו משפט , לכל a ∈ R ולכל סקלר , t A ( at ) = tA a אם-כן , לכל מטריצה , A ההעתקה v V A v היא העתקה לינארית ; כאשר , A = A m × n ההעתקה הלינארית v V A v היא מ- R ל- . R כל מטריצה A = A מייצגת אפוא העתקה לינארית מ- R ל- . R כעת נראה , שלכל העתקה לינארית מ- R ל- R יש מטריצה שמייצגת אותה . תהי T : R - R m העתקה לינארית . נסתכל במטריצה , A = A m × n אשר עמודותיה הן התמונות לפי T של וקטורי הבסיס הסטנדרטי . e , … , ∈ eR בהצגה לפי עמודות [ ( A = [ T ( e ) TB ( e
אל הספר