ההצגה הווקטורית של מערכות לינאריות מסייעת להוכיח בדרך אלגנטית תכונות שונות של הפתרונות . דוגמה תהי נתונה מערכת לינארית הומוגנית של m משוואות ב- n נעלמים נסמן ב- A את מטריצת המקדמים המצומצמת של המערכת , ההצגה הווקטורית של המערכת היא A x = 0 נוכיח שאם וקטורי העמודה c ו- d פותרים את המערכת , אז כל צירוף לינארי של c ו- d פותר את המערכת : c הוא פתרון , לכן , A c = 0 d הוא פתרון , לכן . A d = 0 יהי cs + dt צירוף לינארי של c ו- . d נחשב את ( A ( cs + dt תוך שימוש בתכונות הכפל של מטריצות : A ( cs + dt ) = ( cAs ) + ( dAt ) = sA c + tA d = s 0 + t = + = 0000 שני הקצוות של שרשרת השוויונות מלמדים ש- cs + dt פותר את המערכת ההומוגנית הנידונה . שאלה 9 . 21 א . נניח ש- c ו- d הם פתרונות של מערכת לינארית אי-הומוגנית . ( b ≠ 0 ) A x = b הראו שההפרש c - d פותר את המערכת הלינארית ההומוגנית . A x = 0 ב . נניח שלמערכת הלינארית ההומוגנית A x = 0 יש פתרון יחיד ( הפתרון הטריוויאלי ) . הראו שלכל b יש למערכת A x = b לכל היותר פתרון אחד . ג . נסמן ב- V את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית . A x = 0 יהי t פתרון ...
אל הספר