נפתח בציון העובדה הברורה , שכפל מטריצות אינו חילופי ( אינו קומוטטיבי ) . ייתכן שהמכפלה AB תהיה מוגדרת , והמכפלה BA לא תהיה מוגדרת . גרוע מכך : גם כאשר AB ו-BA שתיהן מוגדרות ושתיהן מאותו סדר , לא בהכרח מתקיים השוויון . AB = BA דוגמה פשוטה מצויה בשאלה הבאה . שאלה 9 . 10 ⎡ 1 1 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ תהיינה [ ⎥ A = ⎢ [ 1 1 ⎥ ו- [ ⎥ . B = ⎢ [ 1 ודאו ש- AB ו-BA שתיהן מוגדרות ושהן מאותו סדר . חשבו את המכפלות והראו ש- . AB ≠ BA התשובה בעמוד 272 הכפל אמנם אינו חילופי , אבל הוא קיבוצי ( אסוציאטיבי ) , ומתפלג מעל החיבור , כפי שמורים שלושת הסעיפים האחרונים של המשפט הבא . משפט 9 . 6 בכל אחד מסעיפי המשפט , אם המכפלה באחד האגפים מוגדרת , אז גם המכפלה באגף האחר מוגדרת , ושני האגפים שווים זה לזה . 1 בכך כפל מטריצות שונה מכפל מספרים ממשיים ומכפל סקלרי של וקטורים , שהם חילופיים . 2 זהו המצב , למשל , כאשר A היא מסדר 4 × 5 ו- B מסדר . 5 × 2 3 במובן המפורט במשפט הבא .
אל הספר